已知函數(shù)f（x）=
12
x2+lnx
（1）求f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值與最小值；
（2）已知直線l：y=2x+a與函數(shù)f（x）的圖象相切，求切點(diǎn)的坐標(biāo)及a的值．
分析：（1）求出函數(shù)f（x）導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷出f′（x）=x+
1
x
＞0在區(qū)間[1，e]上恒成立，得到f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，進(jìn)一步求出f（x）在區(qū)間[1，e]上的最大值與最小值；
（2）令f′（x）=2求得x=1將x=1代入f（x）=
1
2
x2+lnx得到切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，
1
2
）；將切點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程求得a的值
解答：解：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)得：f′（x）=x+
1
x
；
因?yàn)閒′（x）=x+
1
x
＞0在區(qū)間[1，e]上恒成立，
所以f（x）在區(qū)間[1，e]上遞增，
所以當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有最小值為f（1）=
1
2
；當(dāng)x=e時(shí)，f（x）有最大值f（e）=
1
2
e2+1．
（2）由題意得f′（x）=2即f′（x）=x+
1
x
=2解得x=1
將x=1代入f（x）=
1
2
x2+lnx得f（1）=
1
2
即切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，
1
2
）；
將切點(diǎn)坐標(biāo)（1，
1
2
）代入直線l：y=2x+a得a=-
3
2

故切點(diǎn)坐標(biāo)為（1，
1
2
）；a=-
3
2
點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性；考查函數(shù)在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值為切線的斜率，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1
|x|
，g（x）=1+
x+|x|
2
，若f（x）＞g（x），則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　�。�
A、（-∞，-1）∪（0，1）
B、(-∞，-1)∪(0，
-1+
5
2
)
C、(-1，0)∪(
-1+
5
2
，+∞)
D、(-1，0)∪(0，
-1+
5
2
)

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1，x∈Q
0，x∉Q
，則f[f（π）]=（　�。�

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
1-x
ax
+lnx(a＞0)
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）在[
1
2
，2]上的最大值和最小值；
（3）當(dāng)a=1時(shí)，求證對(duì)任意大于1的正整數(shù)n，lnn＞
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
恒成立．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin2（x-
π
6
），其中x∈R，則下列結(jié)論中正確的是（　　）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=1+logax（a＞0，a≠1），滿足f（9）=3，則f-1（log92）的值是（　�。�

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案