Question

（2012•焦作模擬）如圖，兩矩形ABCD、ABEF所在平面互相垂直，DE與平面ABCD及平面所成角分別為30°、45°，M、N分別為DE與DB的中點(diǎn)，且MN=1．
（Ⅰ）求證：MN⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求線段AB的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 先證明 EB⊥平面ABCD，由三角形的中位線的性質(zhì)可得MN∥EB，故MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）利用直角三角形中的邊角關(guān)系求得DE，進(jìn)而求得AE，在Rt△ABE中，由勾股定理求得AB的長(zhǎng)．

解答：（Ⅰ）證明：∵平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，EB⊥AB，
∴EB⊥平面ABCD，
又MN∥EB，∴MN⊥面ABCD．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知∠EDB為DE與平面ABCD所成的角，∴∠EDB=30°．
又在Rt△EBD中，EB=2MN=2，∠EBD=90°∴DE=

EB

sin30°

=4
連接AE，可知∠DEA為DE與平面ABEF所成的角，∴∠DEA=45°．
在Rt△DAE中，∠DAE=90°，
∴AE=DE•cos∠DEA=2

2

在Rt△ABE中，AB=

AE2-EB2

=

8-4

=2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線線垂直、線面垂直的方法，求二面角的平面角的大小，找出二面角的平面角 是解題的關(guān)鍵．