Question

如圖，直角坐標(biāo)系xOy中，一直角三角形ABC，∠C＝90°，B、C在x軸上且關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，D在邊BC上，BD＝3DC，△ABC的周長(zhǎng)為12.若一雙曲線(xiàn)E以B、C為焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)A、D兩點(diǎn)．

(1) 求雙曲線(xiàn)E的方程；

(2) 若一過(guò)點(diǎn)P(m,0)(m為非零常數(shù))的直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)E相交于不同于雙曲線(xiàn)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)M、N ，且問(wèn)在x軸上是否存在定點(diǎn)G，使？若存在，求出所有這樣定點(diǎn)G的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：(1)設(shè)雙曲線(xiàn)E的方程為－＝1(a>0，b>0)，則B(－c,0)，D(a,0)，C(c,0)．

由BD＝3DC，得c＋a＝3(c－a)，得c＝2a.

∴

解之得a＝1，∴c＝2，b＝.

∴雙曲線(xiàn)E的方程為x²－＝1.

(2)設(shè)在x軸上存在定點(diǎn)G(t,0)，使

設(shè)直線(xiàn)l的方程為x－m＝ky，M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．

得y₁＋λy₂＝0.

即λ＝－①

即ky₁＋m－t＝λ(ky₂＋m－t)．②

把①代入②，得2ky₁y₂＋(m－t)(y₁＋y₂)＝0③

把x－m＝ky代入x²－＝1并整理得(3k²－1)y²＋6kmy＋3(m²－1)＝0

其中3k²－1≠0且Δ>0，即k²≠且3k²＋m²>1.

代入③，得＝0，

化簡(jiǎn)得kmt＝k，當(dāng)t＝時(shí)，上式恒成立．

因此，在x軸上存在定點(diǎn)

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