Question

【題目】已知橢圓（）的離心率為，左頂點B與右焦點之間的距離為3．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線交軸于點，過且斜率不為的直線與橢圓相交于兩點，連接并延長分別與直線交于兩點. 若，求點的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（I）根據(jù)橢圓的離心率和左頂點到右焦點的距離列方程組，求得的值，結(jié)合求得的值，由此求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（II）設(shè)出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，消去并化簡，寫出韋達(dá)定理.根據(jù)由三點共線以及由三點共線求得兩點的縱坐標(biāo)，根據(jù)題意得到，將已知條件代入，化簡后可求得的值，求得的坐標(biāo).

（Ⅰ）由題意可知 且，

解得，.

所以.

所以橢圓的方程是 ．

（Ⅱ）設(shè)的坐標(biāo)分別為，，

直線的方程為.

將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，得

.

所以 ①，②.

設(shè)兩點的坐標(biāo)分別為，

由三點共線，得：，從而；

由三點共線，得 ，從而；

因為，所以.

所以 ，即 ，

整理得.

又 ，

所以（*）.

將①， ②代入（*），整理得

.

解之，得或（舍）.

所以點的坐標(biāo)為.