Question

設(shè)數(shù)列的前項和為，且.

（1）求

（2）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；

（3）求數(shù)列的前項和.

 

Answer 1

【答案】

（1）a₁=3 a₂=8 a₃=18（2）見解析（3）T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×

【解析】（1）令n=1,2,3，根據(jù)求出

(2)根據(jù)，得到,兩式相減可得

,所以,問題到此基本得以解決.

(3)在（2）的基礎(chǔ)上，求出的通項公式,再根據(jù)通項公式的特點選用合適的數(shù)列求和的方法求和即可.

解：(1)由題意，當(dāng)n=1時，得2a₁=a₁+3,解得a₁=3

當(dāng)n=2時，得2a₂=(a₁+a₂)+5,解得a₂=8

當(dāng)n=3時，得2a₃=(a₁+a₂+a₃)+7,解得a₃=18

所以a₁=3,a₂=8,a₃=18為所求.·························· 3分

(2)因為2a_n=S_n+2n+1，所以有2a_n+1=S_n+1+2n+3成立

兩式相減得：2a_n+1-2a_n=a_n+1+2

所以a_n+1=2a_n+2(nN^*)，即a_n+1+2=2(a_n+2)

所以數(shù)列{a_n+2}是以a₁+2=5為首項，公比為2的等比數(shù)列·············· 7分

(3)由(2)得：a_n+2=5×2^n-1,即a_n=5×2^n-1-2(nN^*)

則na_n=5n·2^n-1-2n(nN^*)··························· 8分

設(shè)數(shù)列{5n·2^n-1}的前n項和為P_n,

則P_n=5×1×2⁰+5×2×2¹+5×3×2²+…+5×(n-1)·2^n-2+5×n·2^n-1,········· 10分

所以2P_n=5×2×2¹+5×3×2²+5×3×2³+…+5(n-1)·2^n-1+5×n·2ⁿ,

所以-P_n=5(1+2¹+2²+…+2^n-1)-5n·2ⁿ,

即P_n=(5n-5)·2ⁿ+5(nN^*)·························· 12分

所以數(shù)列{n·a_n}的前n項和T_n=(5n-5)·2ⁿ+5-2×,

整理得，T_n=(5n-5)·2ⁿ-n²-n+5(nN^*)   13分