Question

已知函數(shù)f(x)=ax-lnx，g(x)=

lnx

x

+

1

2

（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若?x₁∈[1，e]，?x₀∈[1，e]，f（x₁）=g（x₀），求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=ax-lnx，知f′(x)=

ax-1

x

．再由實(shí)數(shù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能夠求出f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，g′（x）=

1-lnx

x2

≥0，故g（x）在[1，e）上是增函數(shù)，所以g（x）∈[

1

2

，

1

e

+

1

2

]．設(shè)f（x），g（x0在[1，e]上的值域分別為A，B，由題意，得A⊆B，由此入手進(jìn)行分類討論，能夠求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：（1）∵f（x）=ax-lnx，∴f′(x)=

ax-1

x

．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0，得x=

1

a

，當(dāng)x∈（0，

1

a

]時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)f（x）為減函數(shù)；
當(dāng)x∈[

1

a

，+∞）時(shí)，f′（x）≥0，此時(shí)f（x）為增函數(shù)．
∴當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間是（0，

1

a

]，遞增區(qū)間是[

1

a

，+∞）．
（2）當(dāng)x∈[1，e）時(shí)，g′（x）=

1-lnx

x2

≥0，
∴g（x）在[1，e）上是增函數(shù)，
∴g（x）∈[

1

2

，

1

e

+

1

2

]．
設(shè)f（x），g（x0在[1，e]上的值域分別為A，B，
由題意，得A⊆B，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，∴A=[ae-1，a]，此時(shí)a不存在；
當(dāng)a＞0時(shí)，若

1

a

≥e，即0＜a≤

1

e

時(shí)，f（x）在[1，e]上是減函數(shù)，
∴A=[ae-1，a]，
∴

0＜a≤e ae-1≥ 1 2 a≤ 1 e + 1 2

，此時(shí)a不存在．
若1≤

1

a

＜e，即

1

e

＜a≤1時(shí)，
f（x）在[1，

1

a

]上是減函數(shù)，在[

1

a

，e]上是增函數(shù)．
∴f(x)min=f(

1

a

)=1+lna，
∴

1 e ＜a≤1 1+lna≥ 1 2 f(1)=a≤ 1 e + 1 2 f(e)=ae-1≤ 1 e + 1 2

，解得

1

e

≤a≤

1

e2

+

3

2e

．
若

1

a

＜1，即a＞1時(shí)，f（x）在[1，e]上是增函數(shù)，∴A=[a，ae-1]．
∴

a＞1 a≥ 1 2 ae-1≤ 1 e + 1 2

，此時(shí)a不存在．
綜上，a∈[

1

e

，

1

e2

+

3

2e

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，計(jì)算繁瑣，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意分類討論思想的合理運(yùn)用．