Question

2．如圖，⊙O的直徑AB的延長(zhǎng)線與弦CD的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P，E為⊙O上一點(diǎn)，$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，DE交AB于點(diǎn)F，且AB=2BP=8，
（1）求PF的長(zhǎng)度；
（2）若圓F與圓O 內(nèi)切，直線PT與圓F切于點(diǎn)T，求線段PT的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）連接OC，OD，OE，由同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系，結(jié)合條件可得∠CDE=∠AOC，由對(duì)角相等，證得△PFD∽△PCO，再由切割線定理，計(jì)算即可得到所求PF的長(zhǎng)；
（2）由兩圓內(nèi)切的條件，可得圓F的半徑，再由切割線定理，計(jì)算即可得到所求PT的長(zhǎng)．

解答 解：（1）連接OC，OD，OE，
由同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系，
可得∠COE=2∠CDE，
結(jié)合題中條件$\widehat{AE}$=$\widehat{AC}$，可得∠CDE=∠AOC，
又∠AOC=∠P+∠OCP，即∠CDE-∠P=∠OCP，
從而∠PFD=∠OCP，∠P=∠P，
故△PFD∽△PCO，即$\frac{PF}{PC}$=$\frac{PD}{PO}$，
由AB=2BP=8，可得PB=4，PA=12，PO=8．
由割線定理可得，PC•PD=PA•PB=48，
則PF=$\frac{PC•PD}{PO}$=$\frac{48}{8}$=6；
（2）由（1）可得OF=PO-PF=8-6=2，
若圓F與圓O內(nèi)切，
設(shè)圓F的半徑為r，由OF=4-r=2，
可得r=2，即OB為圓F的直徑，
由切割線定理可得，PT²=PB•PO=4×8=32，
可得PT=4$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查同弧所對(duì)圓周角和圓心角的關(guān)系，圓的切割線定理和兩圓內(nèi)切的條件，同時(shí)考查相似三角形的判定和性質(zhì)，考查推理和運(yùn)算能力，屬于中檔題．