Question

14．設不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域為D，點A（2，0），點B（1，0），在區(qū)域D內隨機取一點M，則點M滿足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是（　　）

• A． $\frac{5π}{16}$
• B． $\frac{3π}{16}$
• C． $\frac{3π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 作出不等式組對應的區(qū)域，利用幾何概型的概率公式，即可得到結論．

解答 解：設M（x，y），
∵|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|，
∴（x-2）²+y²≥2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²≤2，
聯立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{4}{3}$，
如圖所示，三角形的高為$\frac{4}{3}$，邊OA=2，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
圓落在三角形內的面積為S_扇形=$\frac{1}{8}$π×2=$\frac{π}{4}$，
∴點M滿足|MA|≥2|MO|的概率是P=$\frac{{S}_{扇形}}{{S}_{三角形OBC}}$=$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3π}{16}$，
故選：B．

點評 本題主要考查了幾何概型的求解，還考查了線性規(guī)劃的知識，同時考查了數形結合的思想，屬于中檔題．