Question

14．設(shè)不等式組$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4≤0}\\{x-y≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域?yàn)镈，點(diǎn)A（2，0），點(diǎn)B（1，0），在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M滿足|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|的概率是（　�。�

• A． $\frac{5π}{16}$
• B． $\frac{3π}{16}$
• C． $\frac{3π}{8}$
• D． $\frac{π}{4}$

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，利用幾何概型的概率公式，即可得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)M（x，y），
∵|MA|≥$\sqrt{2}$|MB|，
∴（x-2）²+y²≥2（x-1）²+2y²，
∴x²+y²≤2，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x-y=0}\end{array}\right.$，
解得x=y=$\frac{4}{3}$，
如圖所示，三角形的高為$\frac{4}{3}$，邊OA=2，
∴S_△OBC=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{4}{3}$=$\frac{4}{3}$，
圓落在三角形內(nèi)的面積為S_扇形=$\frac{1}{8}$π×2=$\frac{π}{4}$，
∴點(diǎn)M滿足|MA|≥2|MO|的概率是P=$\frac{{S}_{扇形}}{{S}_{三角形OBC}}$=$\frac{\frac{π}{4}}{\frac{4}{3}}$=$\frac{3π}{16}$，
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了幾何概型的求解，還考查了線性規(guī)劃的知識(shí)，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想，屬于中檔題．