已知函數(shù)f(x)=ex-x(e為自然對數(shù)的底數(shù))
(Ⅰ)求f(x)的最小值;
(Ⅱ)設(shè)不等式f(x)>ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}⊆P,求實數(shù)a的取值范圍;
【答案】分析:(I)先求導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)的極值點,連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有一個極值,那么極小值就是最小值;
(II)根據(jù)不等式f(x)>ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}⊆P,可轉(zhuǎn)化成,對任意的x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,將(1+a)x<ex變形為,令,利用導(dǎo)數(shù)研究g(x)的最小值,使a小于最小值即可.
解答:解:(Ⅰ)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)=ex-1
令f′(x)>0,解得x>0;令f′(x)<0,
解得x<0.(2分)
從而f(x)在(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)x=0時,f(x)取得最小值1.(5分)
(II)因為不等式f(x)>ax的解集為P,且{x|0≤x≤2}⊆P,
所以,對任意的x∈[0,2],不等式f(x)>ax恒成立,(6分)
由f(x)>ax,得(1+a)x<ex
當(dāng)x=0時,上述不等式顯然成立,
故只需考慮x∈(0,2]的情況.(7分)
將(1+a)x<ex變形為(8分)
,則
令g′(x)>0,解得x>1;令g′(x)<0,解得x<1.(10分)
從而g(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,在(1,2)內(nèi)單調(diào)遞增.
所以,當(dāng)x=1時,g(x)取得最小值e-1,從而,
所求實數(shù)a的取值范圍是(-∞,e-1).(12分)
點評:本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,以及恒成立問題,一般恒成立求參數(shù)問題常常將參數(shù)進行分離,轉(zhuǎn)化成研究已知函數(shù)在某個區(qū)間上的最值問題,考查了劃歸與轉(zhuǎn)化的思想,屬于中檔題.
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