Question

2．已知圓O：x²+y²=2，直線l：y=kx-2．
（1）若直線l與圓O交于不同的兩點A，B，且$∠AOB=\frac{π}{2}$，求k的值；
（2）若$k=\frac{1}{2}$，P是直線l上的動點，過P作圓O的兩條切線PC，PD，切點分別為C，D，求證：直線CD過定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由$∠AOB=\frac{π}{2}$，得到原點O到直線l的距離為1，由此利用點到直線的距離公式能求出k的值．
（2）由題意可知O，P，C，D四點共圓，且在以O(shè)P為直徑的圓上，設(shè)$P（t，\frac{1}{2}t-2）（t∈R）$，以O(shè)P為直徑的圓的方程為${x^2}-tx+{y^2}-（\frac{1}{2}t-2）y=0$，由C，D在圓O：x²+y²=2上，求出直線CD的方程，由此能證明直線CD過定點$（\frac{1}{2}，-1）$．

解答 （12分）
解：（1）因為$∠AOB=\frac{π}{2}$，所以原點O到直線l的距離為$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r=\frac{{\sqrt{2}}}{2}×\sqrt{2}=1$，
又因為$d=\frac{|k×0-0-2|}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}$，
所以$\frac{2}{{\sqrt{{k^2}+1}}}=1，解得k=±\sqrt{3}$．（4分）
證明：（2）由題意可知O，P，C，D四點共圓，且在以O(shè)P為直徑的圓上，
設(shè)$P（t，\frac{1}{2}t-2）（t∈R）$，
則以O(shè)P為直徑的圓的方程為：$x（x-t）+y（y-\frac{1}{2}t+2）=0$，
即${x^2}-tx+{y^2}-（\frac{1}{2}t-2）y=0$，
又C，D在圓O：x²+y²=2上，
所以直線CD的方程為$tx+（\frac{1}{2}t-2）y-2=0$，
即$t（x+\frac{y}{2}）-2（y+1）=0$．
因為t∈R，所以$\left\{\begin{array}{l}x+\frac{y}{2}=0\\ 2（y+1）=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2}\\ y=-1.\end{array}\right.$
所以直線CD過定點$（\frac{1}{2}，-1）$．（12分）

點評 本題考查實數(shù)值的求法，考查直線過定點的證明，考查圓、直線方程、點到直線距離公式等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．