Question

14．$\overrightarrow a$=（3$\sqrt{3}$sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），f （x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$．
（1）求f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時，g（x）=f（x）+m的最大值為$\frac{11}{2}$，求g（x）的最小值及相應(yīng)的x值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積計算并化簡f （x），求出f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)x的取值范圍，求出f（x）的值域，再根據(jù)g（x）的最大值求出m，從而求出g（x）的最小值與對應(yīng)x的值．

解答 解：（1）$\overrightarrow a$=（3$\sqrt{3}$sinx，$\sqrt{3}$cosx），$\overrightarrow b$=（cosx，$\sqrt{3}$cosx），
∴f （x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$
=3$\sqrt{3}$sinxcosx+3cos²x
=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$sin2x+$\frac{3（1+cos2x）}{2}$
=3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{6}$+kπ≤x≤$\frac{2π}{3}$+kπ，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是[$\frac{π}{6}$+kπ，$\frac{2π}{3}$+kπ]，k∈Z；
（2）x∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{π}{3}$]時，2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{5π}{6}$]，
sin（2x+$\frac{π}{6}$）∈[-1，1]，
∴3sin（2x+$\frac{π}{6}$）+$\frac{3}{2}$∈[-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]；
∴f（x）的值域是[-$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{2}$]，
∴g（x）=f（x）+m的最大值為$\frac{9}{2}$+m=$\frac{11}{2}$，
解得m=1，
∴g（x）=f（x）+1；
∴g（x）的最小值為-$\frac{3}{2}$+1=-$\frac{1}{2}$，
此時x=-$\frac{π}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的數(shù)量積與三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的應(yīng)用問題，是中檔題．