Question

已知函數(shù)f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)
（1）當(dāng)f（x）的定義域?yàn)?span id="qy0gyog" class="MathJye">[a+

1

2

，a+1]時(shí)，求f（x）的值域；
（2）試問(wèn)對(duì)定義域內(nèi)的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個(gè)定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，說(shuō)明理由；
（3）設(shè)函數(shù)g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若

1

2

≤a≤

3

2

，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先將函數(shù)進(jìn)行常數(shù)分離，然后根據(jù)定義域求出a-x的取值范圍，再根據(jù)反比例函數(shù)求出

1

a-x

的取值范圍即可求出所求．
（2）f（2a-x）+f（x）=

a-x+1

x-a

+

x+1-a

a-x

=

2(a-x)

x-a

=-2，對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立．
（3）由a=1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）當(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

求得最小值；當(dāng)x≤0時(shí)，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

求得最小值，最后從中取最小的，作為函數(shù)的最小值．

解答：解：（1）函數(shù)f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)=-1+

1

a-x

．
當(dāng) a+

1

2

≤x≤a+1時(shí)，-a-1≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
于是-3≤-1+

1

a-x

≤-2，
即f（x）值域?yàn)閇-3，-2]．
（2）∵f（2a-x）+f（x）=

a-x+1

x-a

+

x+1-a

a-x

=

2(a-x)

x-a

=-2，
對(duì)定義域內(nèi)的所有x都成立，
∴對(duì)定義域內(nèi)的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是定值-2．
（3）解：當(dāng)a=1時(shí)，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（�。┊�(dāng)x≥0時(shí)，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

則函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）當(dāng)x≤0時(shí)，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

則函數(shù)g（x）在（-∞，0]且x≠-1時(shí)單調(diào)遞減，
g（x）_min=g（0）=0
綜合得：當(dāng)x≠-1時(shí)，g（x）的最小值是0．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查恒成立問(wèn)題、分類常數(shù)法轉(zhuǎn)化函數(shù)及分段函數(shù)求最值問(wèn)題和分式函數(shù)的值域，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．