Question

若雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e∈[

2 3

3

，

2

]，則雙曲線C的兩條漸近線夾角的取值范圍為（　�。�

• A、[

  π

  3

  ，

  π

  2

  ]
• B、[

  π

  4

  ，

  π

  3

  ]
• C、[

  π

  6

  ，

  π

  4

  ]
• D、[

  π

  2

  ，

  2π

  3

  ]

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：運用離心率公式，a，b，c的關(guān)系，求得

3

3

≤

b

a

≤1，求出雙曲線的漸近線方程，再由兩直線的夾角公式，令

b

a

=t，

1

t

-t在[

3

3

，1]上遞減，求出夾角正切的范圍，再由夾角的范圍，即可得到．

解答： 解：由于離心率e∈[

2 3

3

，

2

]，
即有

2 3

3

≤

c

a

≤

2

，即

4

3

≤

c2

a2

=

a2+b2

a2

≤2，
即有

3

3

≤

b

a

≤1，
由于雙曲線的漸近線方程為y=±

b

a

x，
則它們的夾角的正切為|

b a -(- b a )

1- b2 a2

|=

2b a

1- b2 a2

，
令

b

a

=t，即有

3

3

≤t≤1，
上式即為

2t

1-t2

=

2

1 t -t

，而

1

t

-t在[

3

3

，1]上遞減，
即有

2 3

3

≤

1

t

-t≤0，
則漸近線夾角的正切的范圍為[

3

，+∞），
即有夾角的范圍是[

π

3

，

π

2

]．
故選A．

點評：本題考查雙曲線的性質(zhì)：離心率和漸近線，考查兩直線的夾角公式，以及函數(shù)的單調(diào)性和運用，考查運算能力，屬于中檔題．