已知函數(shù)f(x)在R上同時滿足條件：①對于任意x,y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)；②當x＞0時，f(x)＜0，則函數(shù)f(x)在R上

A.是奇函數(shù)且是減函數(shù)                          B.是奇函數(shù)且是增函數(shù)

C.是奇函數(shù)且不具有單調(diào)性                      D.是偶函數(shù)且不具有單調(diào)性

A

解析:∵x、y∈R,有f(x+y)=f(x)+f(y),令y=-x,

∴f(x-x)=f(x)+f(y).∴f(x)+f(y)=f(0).又f(0+0)=f(0)+f(0),

∴f(0)=0.∴f(x)=-f(-x).

取x1＜x2,則f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)＜0,

∴f(x2)＜f(x1).

∴f(x)在R上是奇函數(shù)且是減函數(shù).故選A.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f (x)在R上可導，且f (x) = x2 + 2x，則f (1)與f (1)的大小關(guān)系是（  ）

A．f (1) = f (1)            B．f (1)＜f (1)      C．f (1)＞f (1)            D．不能確定

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科目：高中數(shù)學 來源：2016屆四川省高一上半期考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，對任意的，總有且，則不等式<0的解集為 (   )

A．(－1,0)∪(1，＋∞)        B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)    D．(－1,0)∪(0,1)

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆浙江省高二下學期第一次質(zhì)檢理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)＝x2＋2xf′(2)，則f(－2)與f(2)的大小關(guān)系為(　　)

A．f(－2)＝f(2)     B．f(－2)>f(2)      C．f(－2)<f(2)         D．不確定

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年江蘇省高三練習數(shù)學 題型：填空題

已知函數(shù)f (x)在R上滿足f (x)＝2·f (2－x)－x2＋8x－8，則f (2)＝       

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年山東省泰安市高三上學期期末考試數(shù)學理卷 題型：選擇題

已知函數(shù)f(x)在R上可導，且f(x)=x2+2xf ′(2），則f (-1）與f (1）的大小關(guān)系為

A. f（-1）= f（1）             B. f（-1）＞f（1）

C. f（-1）＜ f（1）            D.不確定

 

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