Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=10n-n²（n∈N^*），
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令b_n=a_nxⁿ（x∈R且x≠1），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和．

Answer 1

考點(diǎn)：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

專題：計(jì)算題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n；
（2）利用“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=9；
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=10n-n²-[10（n-1）-（n-1）²]=-2n+11．
n=1時(shí)也滿足，
∴a_n=-2n+11．
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n．
則T_n=9x+7x²+5x³+…+（-2n+11）xⁿ，
xT_n=9x²+7x³+5x⁴+…+（-2n+13）xⁿ+（-2n+11）xⁿ⁺¹
∴（1-x）T_n=9x-2x²-2x³-2x⁴-…-2xⁿ-（-2n+11）xⁿ⁺¹
∴T_n=

9x

1-x

-

2x2(1-xn-1)

(1-x)2

-

(-2n+11)•xn+1

1-x

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握“當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁；當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1即可得出a_n”、分類討論、“錯(cuò)位相減法”和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式等是解題的關(guān)鍵．