Question

17．在△ABC中，a，b，c分別是A，B，C的對邊，若a=csinB+bcosC．
（1）求B：
（2）若b=2，S_△ABC=2，求a，c．

Answer 1

分析 （1）已知等式利用正弦定理化簡，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及誘導(dǎo)公式變形，求出tanB的值，由B為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（2）利用已知及三角形的面積公式可求ac=4$\sqrt{2}$，利用余弦定理及平方和公式整理可得：a+c=2$\sqrt{2}+2$，兩式聯(lián)立即可求得a，c的值．

解答 解：（1）由已知及正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinBsinC①，
∵sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC②，
∴sinB=cosB，即tanB=1，
∵B為三角形的內(nèi)角，
∴B=$\frac{π}{4}$；
（2）∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ac=2，
∴解得：ac=4$\sqrt{2}$．①
∵由已知及余弦定理得：4=a²+c²-2accos$\frac{π}{4}$=a²+c²-$\sqrt{2}$ac=（a+c）²-2ac-$\sqrt{2}$ac=（a+c）²-8$\sqrt{2}$-8，
∴解得：（a+c）²=12+8$\sqrt{2}$，可得：a+c=2$\sqrt{2}+2$，②
∴由②可解得：a=2$\sqrt{2}+2$，代入①，整理可得：c²-（2$\sqrt{2}$+2）c+4$\sqrt{2}$=0．
∴解得：$\left\{\begin{array}{l}{c=2\sqrt{2}}\\{a=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{a=2\sqrt{2}}\end{array}\right.$．

點評 此題考查了正弦、余弦定理，三角形的面積公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及平方和公式的運用，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．