Question

設(shè)S_n為數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，S_n=kn²+n，n∈N^*，其中k是常數(shù)．若對(duì)于任意的m∈N^*，a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，則k的值為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：先通過(guò)求a₁=S₁求得a₁，進(jìn)而根據(jù)當(dāng)n≥2時(shí)a_n=S_n-S_n-1求出a_n，驗(yàn)證可得a_n，（2）根據(jù)a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，可知a_2m²=a_ma_4m，根據(jù)數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，代入化簡(jiǎn)即可．

解答： 解：（1）由題意當(dāng)n=1，a₁=S₁=k+1，
當(dāng)n≥2，a_n=S_n-S_n-1=kn²+n-[k（n-1）²+（n-1）]=2kn-k+1（*）．
經(jīng)檢驗(yàn)，n=1時(shí)（*）式成立，
∴a_n=2kn-k+1．
（2）∵a_m，a_2m，a_4m成等比數(shù)列，
∴a_2m²=a_ma_4m，
即（4km-k+1）²=（2km-k+1）（8km-k+1），
整理得：mk（k-1）=0，對(duì)任意的m∈N^*成立，
∴k=0或k=1．
故答案為：k=0或k=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列等比關(guān)系的確定和求數(shù)列通項(xiàng)公式，屬中檔題．