Question

設(shè)f（x）=sin2x+mcos2x，若對一切x∈R，都有f（x）≤f(

π

8

)，則f(

π

24

)=

6

2

．

Answer 1

分析：設(shè)出sinφ和cosφ，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)題意得到x=

π

8

時(shí)，函數(shù)取得最值，故把x=

π

8

代入函數(shù)解析式，求出的函數(shù)值等于最值±

m2+1

，列出關(guān)于m的方程，求出方程的解得到m的值，從而確定出函數(shù)解析式，把x=

π

24

的值代入即可求出f（

π

24

）的值．

解答：解：由題意知：
f（x）=sin2x+mcos2x=

m2+1

sin（2x+φ），（sinφ=

m

m2+1

，cosφ=

1

m2+1

）
由題意得：當(dāng)x=

π

8

時(shí)函數(shù)f（x）=sin2x+mcos2x取到最值±

m2+1

，
將x=

π

8

代入可得：sin（2×

π

8

）+mcos（2×

π

8

）=

2

2

(m+1)=±

m2+1

，即m=1
∴f（x）=sin2x+mcos2x=sin2x+cos2x=

2

sin（2x+

π

4

），
則f（

π

24

）=

2

sin（2×

π

24

+

π

4

）=

2

sin

π

3

=

6

2

．
故答案為：

6

2

點(diǎn)評(píng)：此題考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，正弦函數(shù)的單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，靈活運(yùn)用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)是本題的突破點(diǎn)．