Question

18．已知A，B是拋物線y²=4x上的不同兩點，弦AB（不平行于y軸）的垂直平分線與x軸交于點P．
（Ⅰ）若直線AB經(jīng)過拋物線y²=4x的焦點，求A，B兩點的縱坐標之積；
（Ⅱ）若點P的坐標為（4，0），弦AB的長度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出拋物線的焦點，設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），聯(lián)立拋物線方程，消去x，可得y的方程，運用韋達定理，即可求得A，B兩點的縱坐標之積；
（Ⅱ）設(shè)AB：y=kx+b（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立直線和拋物線方程，消去y，可得x的方程，運用韋達定理和中點坐標公式，以及弦長公式，化簡整理，再由二次函數(shù)的最值，即可求得弦長的最大值．

解答 解：（Ⅰ）拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），
依題意，設(shè)直線AB方程為y=k（x-1），其中k≠0．
將$x=\frac{y^2}{4}$代入直線方程，得$y=k（\frac{y^2}{4}-1）$，
整理得ky²-4y-4k=0，
所以y_Ay_B=-4，即A，B兩點的縱坐標之積為-4．
（Ⅱ）設(shè)AB：y=kx+b（k≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=kx+b\end{array}\right.$得k²x²+（2kb-4）x+b²=0．
由△=4k²b²+16-16kb-4k²b²=16-16kb＞0，得kb＜1．
所以${x_1}+{x_2}=\frac{4-2kb}{k^2}$，${x_1}{x_2}=\frac{b^2}{k^2}$．
設(shè)AB中點坐標為（x₀，y₀），
則${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{2-kb}{k^2}$，${y_0}=k{x_0}+b=\frac{2}{k}$，
所以弦AB的垂直平分線方程為$y-\frac{2}{k}=-\frac{1}{k}（x-\frac{2-kb}{k^2}）$，
令y=0，得$x=2+\frac{2-kb}{k^2}$．
由已知$2+\frac{2-kb}{k^2}=4$，即2k²=2-kb．
$|{AB}|=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}=\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{{{（\frac{4-2kb}{k^2}）}^2}-\frac{{4{b^2}}}{k^2}}$
=$4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{1-kb}{k^4}}$=$4\sqrt{1+{k^2}}\sqrt{\frac{{2{k^2}-1}}{k^4}}$=$4\sqrt{\frac{{2{k^4}+{k^2}-1}}{k^4}}$=$4\sqrt{-{{（\frac{1}{k^2}）}^2}+\frac{1}{k^2}+2}$，
當$\frac{1}{k^2}=\frac{1}{2}$，即$k=±\sqrt{2}$時，|AB|的最大值為6．
當$k=\sqrt{2}$時，$b=-\sqrt{2}$；當$k=-\sqrt{2}$時，$b=\sqrt{2}$．均符合題意．
所以弦AB的長度存在最大值，其最大值為6．

點評 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的方程的運用，考查直線和拋物線方程聯(lián)立，消去未知數(shù)，運用韋達定理和弦長公式，結(jié)合二次函數(shù)的最值求法，屬于中檔題．