Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-2|+2|x+1|．
（1）求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）已知x₁，x₂∈R，求證：3f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）≤f（x₁）+2f（x₂）．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)絕對值的幾何意義，將函數(shù)表示為分段函數(shù)，利用圖象即可求函數(shù)y=f（x）的最小值；
（2）由題意作圖，設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））；作線段AB的三等分點M，作MN垂直于x軸交圖象于點N，從而寫出M，N的坐標(biāo)比較即可證明．

解答 解：（1）f（x）=|x-2|+2|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{-3x，x＜-1}\\{x+4，-1≤x≤2}\\{3x，x＞2}\end{array}\right.$；
作出其圖象如下，
；
故當(dāng)x=-1時，函數(shù)有最小值y=-1+4=3；
（2）證明：作圖如下，

設(shè)A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））；
M是線段AB的三等分點，
則點M（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，$\frac{f（{x}_{1}）+2f（{x}_{2}）}{3}$）；
點N（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$，f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$））；
則由點M在點N的上方或與點M重合知，
$\frac{f（{x}_{1}）+2f（{x}_{2}）}{3}$≥f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$），
即3f（$\frac{{x}_{1}+2{x}_{2}}{3}$）≤f（x₁）+2f（x₂）．

點評 本題考查了學(xué)生作圖與用圖的能力，同時考查了絕對值函數(shù)的化簡與應(yīng)用，屬于難題．