Question

12．如圖，高為1的等腰梯形ABCD中，AM=CD=$\frac{1}{3}$AB=1，M為AB的三等分點(diǎn)，現(xiàn)將△AMD沿MD折起，使平面AMD⊥平面MBCD，連接AB、AC．
（Ⅰ）在AB邊上是否存在點(diǎn)P，使AD∥平面MPC？
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí)，求點(diǎn)B到平面MPC的距離．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在AB邊上存在點(diǎn)P，滿足PB=2PA，使AD∥平面MPC，證明AD∥OP，即可證明AD∥平面MPC？
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P為AB邊中點(diǎn)時(shí)，利用等體積方法，即可求點(diǎn)B到平面MPC的距離．

解答 解：（Ⅰ）在AB邊上存在點(diǎn)P，滿足PB=2PA，使AD∥平面MPC．
連接BD，交MC于O，連接OP，則由題意，DC=1，MB=2，∴OB=2OD，
∵PB=2PA，
∴OP∥AD，
∵AD?平面MPC，OP?平面MPC，
∴AD∥平面MPC；
（Ⅱ）由題意，AM⊥MD，平面AMD⊥平面MBCD，∴AM⊥平面MBCD，
∴P到平面MBC的距離為$\frac{1}{2}$，
△MBC中，MC=BC=$\sqrt{2}$，MB=2，∴MC⊥BC，∴S_△MBC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}$=1，
△MPC中，MP=$\frac{\sqrt{5}}{2}$=CP，MC=$\sqrt{2}$，∴S_△MPC=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{\frac{5}{4}-\frac{2}{4}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．
設(shè)點(diǎn)B到平面MPC的距離為h，則由等體積可得$\frac{1}{3}×1×\frac{1}{2}=\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{4}h$，∴h=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查點(diǎn)到平面距離的計(jì)算，考查體積的計(jì)算，屬于中檔題．