Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n
（1）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求常數(shù)m，t的值，使S_n=ma_n+t對(duì)一切大于零的自然數(shù)n都成立．
（2）若數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為a₁，公差d≠0的等差數(shù)列，證明：存在常數(shù)m，t，b使得S_n=ma_n²+ta_n+b對(duì)一切大于零的自然數(shù)n都成立，且t=

1

2

．
（3）若數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足S_n=ma_n²+ta_n+b，n∈N⁺，m、t、b（m≠0）為常數(shù)，且S_n≠0，證明：當(dāng)t=

1

2

時(shí)，數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的應(yīng)用,數(shù)列的求和

專(zhuān)題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的求和公式，即可求常數(shù)m，t的值；
（2）確定n=

an-a1

d

+1，利用S_n=ma_n²+ta_n+b對(duì)一切大于零的自然數(shù)n都成立，且t=

1

2

，即可得出結(jié)論；
（3）由題知S_n-S_n-1=a_n，可得m(an2-an-12)-

1

2

(an+an-1)=0，即可證明結(jié)論．

解答： 解：（1）Sn=

a1-qan

1-q

=

1-2an

1-2

=2an-1
所以m=2，t=-1（4分）
（2）在等差數(shù)列{a_n}中，a_n=a₁+（n-1）d，所以n=

an-a1

d

+1

Sn=na1+ 1 2 n(n-1)d=( an-a1 d +1)a1+ 1 2 ( an-a1 d +1)( an-a1 d )d = 1 2d an2+ 1 2 an+ a1 2 - a12 2d

所以存在m=

1

2d

，d=

1

2

，b=

a1

2

-

a12

2d

使得命題成立（6分）
（3）由題知S_n-S_n-1=a_n，
∴m(an2-an-12)-

1

2

(an+an-1)=0，
∴(an+an-1)[m(an-an-1)-

1

2

]=0
若a_n+a_n-1=0，則S₂=0，與題設(shè)矛盾
所以m(an-an-1)=

1

2

，m≠0，得an-an-1=

1

2m

所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列（6分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查等差數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．