Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x2+alnx．
（1）當a=1時，求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（2）當a=﹣2時，求函數(shù)f（x）的極值；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）+ 在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解： a=1時，f（x）=x2+lnx，f′（x）=2x+ ，

故f（1）=1，f′（1）=3，

故切線方程是：y﹣1=3（x﹣1），

即3x﹣y﹣2=0；

（2）解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）

當a=﹣2時，f′（x）=2x﹣ = ，

令f′（x）＞0，解得：x＞1，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故函數(shù)f（x）單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+∞）

∴極小值是f（1）=1，沒有極大值；

（3）解：由g（x）=x2+alnx+ ，得g′（x）=2x+ ﹣ ，

又函數(shù)g（x）=x2+alnx+ 為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)，

則g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，

所以不等式2x+ ﹣ ≤0在[1，4]上恒成立，

即a≤ ﹣2x2在[1，4]上恒成立，

設φ（x）= ﹣2x2，顯然（x）在[1，4]上為減函數(shù)，

所以（x）的最小值為（4）=﹣ ，

∴a的取值范圍是a≤﹣

【解析】（1）求出f（1），f′（1），代入切線方程即可；（2）求出f（x）的導數(shù)，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可；（3）由g（x）=x2+alnx+ ，得g′（x），由g'（x）≤0在[1，4]上恒成立，可得a≤ ﹣2x2在[1，4]上恒成立．構(gòu)造函數(shù)φ（x）= ﹣2x2 ， 求其最小值即可．
【考點精析】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值與導數(shù)的相關(guān)知識點，需要掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值才能正確解答此題．