Question

（本小題滿分15分）某生產旅游紀念品的工廠，擬在2010年度將進行系列促銷活動．經市場調查和測算，該紀念品的年銷售量x萬件與年促銷費用t萬元之間滿足3－x與t+1成反比例．若不搞促銷活動，紀念品的年銷售量只有1萬件．已知工廠2010年生產紀念品的固定投資為3萬元，每生產1萬件紀念品另外需要投資32萬元．當工廠把每件紀念品的售價定為：“年平均每件生產成本的150%”與“年平均每件所占促銷費一半”之和時，則當年的產量和銷量相等．(利潤=收入－生產成本－促銷費用)(1)求出x與t所滿足的關系式；(2)請把該工廠2010年的年利潤y萬元表示成促銷費t萬元的函數；(3)試問：當2010年的促銷費投入多少萬元時，該工廠的年利潤最大？

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）當2010年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元

(1)　設比例系數為k．由題知，有．………………………2分
又…4分　． 5分
　(2) 依據題意，可知工廠生產x萬件紀念品的生產成本為萬元，促銷費用為t萬元，則每件紀念品的定價為：()元／件．……………………8分
于是，，進一步化簡，得
．……11分
因此，工廠2010年的年利潤萬元．
(3) 由(2)知，
　　　……………15分
所以，當2010年的促銷費用投入7萬元時，工廠的年利潤最大，最大利潤為42萬元．………16分