Question

【題目】定義“正對(duì)數(shù)”：ln+x= ，現(xiàn)有四個(gè)命題： ①若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=bln+a
②若a＞0，b＞0，則ln+（ab）=ln+a+ln+b
③若a＞0，b＞0，則 b
④若a＞0，b＞0，則ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2
其中的真命題有： ． （寫出所有真命題的編號(hào)）

Answer 1

【答案】①③④
【解析】解：對(duì)于①，當(dāng)0＜a＜1，b＞0時(shí)，有0＜ab＜1，從而ln+（ab）=0，bln+a=b×0=0，

∴l(xiāng)n+（ab）=bln+a；

當(dāng)a≥1，b＞0時(shí)，有ab＞1，從而ln+（ab）=lnab=blna，bln+a=blna，

∴l(xiāng)n+（ab）=bln+a；

∴當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)，ln+（ab）=bln+a，命題①正確；

對(duì)于②，當(dāng)a= 時(shí)，滿足a＞0，b＞0，而ln+（ab）=ln+ =0，ln+a+ln+b=ln+ +ln+2=ln2，

∴l(xiāng)n+（ab）≠ln+a+ln+b，命題②錯(cuò)誤；

對(duì)于③，由“正對(duì)數(shù)”的定義知，ln+x≥0且ln+x≥lnx．

當(dāng)0＜a＜1，0＜b＜1時(shí)，ln+a﹣ln+b=0﹣0=0，而ln+ ≥0，

∴ b．

當(dāng)a≥1，0＜b＜1時(shí)，有 ，ln+a﹣ln+b=ln+a﹣0=ln+a，而ln+ =ln =lna﹣lnb，

∵lnb＜0，

∴ b．

當(dāng)0＜a＜1，b≥1時(shí)，有0＜ ，ln+a﹣ln+b=0﹣ln+b=﹣ln+b，而ln+ =0，

∴ b．

當(dāng)a≥1，b≥1時(shí)，ln+a﹣ln+b=lna﹣lnb=ln ，則 b．

∴當(dāng)a＞0，b＞0時(shí)， b，命題③正確；

對(duì)于④，由“正對(duì)數(shù)”的定義知，當(dāng)x1≤x2時(shí)，有 ，

當(dāng)0＜a＜1，0＜b＜1時(shí)，有0＜a+b＜2，從而ln+（a+b）＜ln+2=ln2，ln+a+ln+b+ln2=0+0+ln2=ln2，

∴l(xiāng)n+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

當(dāng)a≥1，0＜b＜1時(shí)，有a+b＞1，從而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+a）=ln2a，

ln+a+ln+b+ln2=lna+0+ln2=ln2a，

∴l(xiāng)n+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

當(dāng)0＜a＜1，b≥1時(shí)，有a+b＞1，從而ln+（a+b）=ln（a+b）＜ln（a+b）=ln2b，

ln+a+ln+b+ln2=0+lnb+ln2=ln2b，

∴l(xiāng)n+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

當(dāng)a≥1，b≥1時(shí)，ln+（a+b）=ln（a+b），ln+a+ln+b+ln2=lna+lnb+ln2=ln（2ab），

∵2ab﹣（a+b）=ab﹣a+ab﹣b=a（b﹣1）+b（a﹣1）≥0，

∴2ab≥a+b，從而ln+（a+b）≤ln+a+ln+b+ln2．

命題④正確．

∴正確的命題是①③④．

所以答案是：①③④．

【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用命題的真假判斷與應(yīng)用，掌握兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系即可以解答此題．