【題目】已知函數(shù)f(x).
(1)求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若曲線y=f(x)與直線y=b(b∈R)有3個(gè)交點(diǎn),求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)過點(diǎn)P(﹣1,0)可作幾條直線與曲線y=f(x)相切?請說明理由.
【答案】(1)增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣∞,0),(1,+∞);(2)1<b;(3)1,理由見解析.
【解析】
(1)利用的導(dǎo)函數(shù),求得的單調(diào)區(qū)間.
(2)由(1)判斷出的極大值和極小值,結(jié)合與有個(gè)交點(diǎn),求得的取值范圍.
(3)設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo),利用導(dǎo)數(shù)求得切線方程,代入點(diǎn),得到切點(diǎn)的橫坐標(biāo)滿足的方程,利用導(dǎo)數(shù)證得這個(gè)方程只有一個(gè)解,由此判斷出可以作條切線.
(1)f′(x)=(x﹣x2)e﹣x,
由f′(x)>0,可得0<x<1,f′(x)<0,可得x<0或x>1,
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),單調(diào)遞減區(qū)間是(﹣∞,0),(1,+∞);
(2)由(1),f(0)=1,f(1),
∵曲線y=f(x)與直線y=b(b∈R)有3個(gè)交點(diǎn),
∴1<b;
(3)設(shè)切點(diǎn)為(m,n),則f′(m)=(m﹣m2)e﹣m,
∴切線方程為y﹣n=(m﹣m2)e﹣m(x﹣m),
代入(﹣1,0),整理可得m3+m2+1=0,
設(shè)g(m)=m3+m2+1,g′(m)=3m2+2m,
由g′(m)>0,可得m或m>0,g′(m)<0,可得m<0,
∴函數(shù)g(m)的單調(diào)遞減區(qū)間是(,0),單調(diào)遞增區(qū)間是(﹣∞,),(0,+∞);
∵g()>0,g(0)>0,
∴g(m)=0有唯一解,
∴過點(diǎn)P(﹣1,0)可作1條直線與曲線y=f(x)相切.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓E的長軸長與焦距比為2:1,左焦點(diǎn)F(﹣2,0),一定點(diǎn)為P(﹣8,0).
(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)過P的直線與橢圓交于P1、P2兩點(diǎn),設(shè)直線P1F、P2F的斜率分別為k1、k2,求證:k1+k2=0.
(3)求△P1P2F面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,焦距為,斜率為k的直線l與橢圓M有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A、B.
(1)求橢圓M的方程;
(2)設(shè)P(﹣2,0),直線PA與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為C,直線PB與橢圓M的另一個(gè)交點(diǎn)為D,若C、D與點(diǎn)共線,求斜率k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某網(wǎng)購平臺為了解某市居民在該平臺的消費(fèi)情況,從該市使用其平臺且每周平均消費(fèi)額超過100元的人員中隨機(jī)抽取了100名,并繪制如圖所示頻率分布直方圖,已知中間三組的人數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求的值;
(2)分析人員對100名調(diào)查對象的性別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn),消費(fèi)金額不低于300元的男性有20人,低于300元的男性有25人,根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)完成下列列聯(lián)表,并判斷是否有的把握認(rèn)為消費(fèi)金額與性別有關(guān)?
(3)分析人員對抽取對象每周的消費(fèi)金額與年齡進(jìn)一步分析,發(fā)現(xiàn)他們線性相關(guān),得到回歸方程.已知100名使用者的平均年齡為38歲,試判斷一名年齡為25歲的年輕人每周的平均消費(fèi)金額為多少.(同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值代替)
列聯(lián)表
男性 | 女性 | 合計(jì) | |
消費(fèi)金額 | |||
消費(fèi)金額 | |||
合計(jì) |
臨界值表:
0.050 | 0.010 | 0.001 | |
3.841 | 6.635 | 10.828 |
,其中
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【題目】“二萬五千里長征”是1934年10月到1936年10月中國工農(nóng)紅軍進(jìn)行的一次戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移,是人類歷史上的偉大奇跡,向世界展示了中國工農(nóng)紅軍的堅(jiān)強(qiáng)意志,在期間發(fā)生了許多可歌可泣的英雄故事.在中國共產(chǎn)黨建黨周年之際,某中學(xué)組織了“長征英雄事跡我來講”活動,已知該中學(xué)共有高中生名,用分層抽樣的方法從該校高中學(xué)生中抽取一個(gè)容量為的樣本參加活動,其中高三年級抽了人,高二年級抽了人,則該校高一年級學(xué)生人數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓的焦距為2,過點(diǎn).
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,定點(diǎn),過點(diǎn)F且斜率不為零的直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),以線段AP為直徑的圓與直線的另一個(gè)交點(diǎn)為Q,證明:直線BQ恒過一定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校辨論隊(duì)計(jì)劃在周六、周日各參加一場辨論賽,分別由正、副隊(duì)長負(fù)責(zé),已知該校辯論隊(duì)共有10位成員(包含正、副隊(duì)長),每場比賽除負(fù)責(zé)人外均另需3位隊(duì)員(同一隊(duì)員可同時(shí)參加兩天的比賽,正、副隊(duì)長只能參加一場比賽).假設(shè)正副隊(duì)長分別將各自比賽通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給辯論隊(duì)8名隊(duì)員中的3位,且所發(fā)信息都能收到.
(1)求辯論隊(duì)員甲收到隊(duì)長或副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的概率;
(2)記辯論隊(duì)收到正副隊(duì)長所發(fā)比賽通知信息的隊(duì)員人數(shù)為隨機(jī)變量,求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).
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