Question

設定義在R上的函數（a₀，a₁，a₂，a₃∈R），當x=-1時，f（x）取極大值，且函數y=f（x）的圖象關于點（0，0）對稱．
（Ⅰ）求f（x）的表達式；
（Ⅱ）試在函數y=f（x）的圖象上求兩點，使以這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在上；
（Ⅲ）設，，求證：．

Answer 1

（Ⅰ）解：由f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即f（x）是奇函數，所以．
由題意當x=-1時，f（x）取極大值，得，所以，．
所以，所求．…（4分）
（ II）解：f'（x）=x²-1．設所求兩點為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[，得
因為，所以或
即x₁=0，x₂=±或x₁=，x₂=0
從而可得所求兩點的坐標為：（0，0），或者（0，0），．…（8分）
（III）證明：，當時，f'（x）＜0，即在上遞減，得，即．
∵，由導數可得，即，
所以…（12分）
分析：（Ⅰ）由f（x）的圖象關于點（0，0）對稱，即f（x）是奇函數，可得，根據當x=-1時，f（x）取極大值，建立方程組，即可求得函數的不等式；
（ II）設所求兩點為（x₁，f（x₁）），（x₂，f（x₂）），x₁，x₂∈[，利用兩點為切點的切線互相垂直即可求得點的坐標；
（III）確定f（y_m）的最大值，f（x_n）的最小值，即可證得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查函數的最值，考查不等式的證明，正確求導，確定函數的最值是關鍵．