Question

已知函數(shù)f（x）=ax3-

3

2

x2+1(x∈R)．
（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（Ⅱ）若對?a∈(-

1

2

，

1

2

)，函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

x2+1的值恒大于零，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當a=1時要求求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程只需求出切線的斜率而根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知切線的斜率為f^′（2）．
（Ⅱ）此題是對?a∈(-

1

2

，

1

2

)函數(shù)f(x)=ax3-

3

2

x2+1的值恒大于零屬恒成立的問題因此可轉(zhuǎn)變思路將此函數(shù)看成關(guān)于a的函數(shù)即關(guān)于a的恒成立問題，然后可利用一次函數(shù)的知識進行求解．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=x3-

3

2

x2+1
∴f（2）=3
∵f’（x）=3x²-3x
∴f’（2）=6．
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-3=6（x-2），即y=6x-9．
（Ⅱ）把原函數(shù)看成是關(guān)于a的一次函數(shù)，令g(a)=x3a+(1-

3

2

x2)，則原問題轉(zhuǎn)化為g（a）＞0對?a∈(-

1

2

，

1

2

)恒成立問題．
若x=0，g（a）=1＞0恒成立，
若x≠0，則問題轉(zhuǎn)化為

g(- 1 2 )＞0 g( 1 2 )＞0

，解得1-

3

＜x＜-1+

3

所以x的取值范圍是1-

3

＜x＜-1+

3

．

點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)求在某點處的切線方程以及恒成立的求解．第一問的解題關(guān)鍵是要知道函數(shù)在這一點處的導(dǎo)數(shù)即為在這一點處的切線斜率．第二問的解題關(guān)鍵是要轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的恒成立問題但要注意的是要對a的系數(shù)進行討論！