Question

2．若函數(shù)y=f（x）的值域為[1，3]，則函數(shù)F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$的值域為[2，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 利用基本不等式求出新函數(shù)的最小值，然后求解最大值即可得到結(jié)果．

解答 解：函數(shù)y=f（x）的值域為[1，3]，
則函數(shù)F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$$≥2\sqrt{f（x）•\frac{1}{f（x）}}$=2，當(dāng)且僅當(dāng)f（x）=1時等號成立．
∵1≤f（x）≤3，可得f（x）+$\frac{1}{f（x）}$≤$\frac{4}{3}$．
函數(shù)F（x）=f（x）+$\frac{1}{f（x）}$的值域為[2，$\frac{4}{3}$]．
故答案為：[2，$\frac{4}{3}$]．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，可以參考函數(shù)f（x）=x+$\frac{1}{x}$求解函數(shù)的值域，考查計算能力．