【題目】已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足2Sn=3an﹣3,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足 = +1且b1=1.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)cn= ,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Pn;
(3)數(shù)列{Sn}中是否存在不同的三項(xiàng)Sp , Sq , Sr , 使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列?若存在,求出p,q,r的關(guān)系;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】
(1)解:∵2Sn=3an﹣3,

當(dāng)n=1時(shí),2a1=3a1﹣3,

∴a1=3.

當(dāng)n≥2時(shí),2an=2Sn﹣2Sn1=(3an﹣3)﹣(3an1﹣3),

∴an=3an1

∴{an}是以3為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列.

∴an=3n

= +1,

=1,

∴{ }是以1為首項(xiàng),以1為公差的等差數(shù)列,

=n.即Tn=n2

當(dāng)n≥2時(shí),bn=Tn﹣Tn1=n2﹣(n﹣1)2=2n﹣1.

當(dāng)n=1時(shí),上式仍成立,

∴bn=2n﹣1.


(2)解:由(1)知cn=

∴Pn=c1+c2+c3+…+cn= + + + …+ .①

Pn= + + +…+ + .②

①﹣②得: Pn= +2 +2 +2 +…+2 = +2 =

∴Pn=1﹣


(3)解:由(1)知{an}是以3為首項(xiàng),以3為公比的等比數(shù)列,

∴Sn= =

假設(shè)數(shù)列{Sn}中存在不同的三項(xiàng)Sp,Sq,Sr,使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列,

∴Sp+Sr=2Sq.即 + =3q+1﹣3.

.即3p+3r=23q

則3p(1+3rp)=23q

,

∴p=q=r.與假設(shè)矛盾、

∴數(shù)列{Sn}中不存在不同的三項(xiàng)Sp,Sq,Sr,使這三項(xiàng)恰好構(gòu)成等差數(shù)列


【解析】(1)根據(jù)an= 得出{an}為等比數(shù)列,由{ }為等差數(shù)列求出{ }的通項(xiàng)公式,再得出數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;(2)使用錯(cuò)位相減法求和;(3)假設(shè)存在三項(xiàng)成等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)得出矛盾.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了數(shù)列的前n項(xiàng)和和數(shù)列的通項(xiàng)公式的相關(guān)知識(shí)點(diǎn),需要掌握數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系;如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示,那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式才能正確解答此題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

【題目】為調(diào)查高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間之間的相關(guān)關(guān)系,長(zhǎng)郡中學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)新入學(xué)的45名學(xué)生進(jìn)行了跟蹤調(diào)查,其中每周自主做數(shù)學(xué)題的時(shí)間不少于15小時(shí)的有19人,余下的人中,在高三模擬考試中數(shù)學(xué)平均成績(jī)不足120分的占,統(tǒng)計(jì)成績(jī)后,得到如下的列聯(lián)表:

分?jǐn)?shù)大于等于120分

分?jǐn)?shù)不足120分

合計(jì)

周做題時(shí)間不少于15小時(shí)

4

19

周做題時(shí)間不足15小時(shí)

合計(jì)

45

(1)請(qǐng)完成上面的列聯(lián)表,并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為“高中生的數(shù)學(xué)成績(jī)與學(xué)生自主學(xué)習(xí)時(shí)間有關(guān)”;

(2)(。┌凑辗謱映闃拥姆椒,在上述樣本中,從分?jǐn)?shù)大于等于120分和分?jǐn)?shù)不足120分兩組學(xué)生中抽取9名學(xué)生,設(shè)抽到的不足120分且周做題時(shí)間不足15小時(shí)的人數(shù)是,求的分布列(概率用組合數(shù)算式表示);

(ⅱ)若將頻率視為概率,從全校大于等于120分的學(xué)生中隨機(jī)抽取20人,求這些人中周做題時(shí)間不少于15小時(shí)的人數(shù)的期望和方差.

附:

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【題目】如圖,在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E為CD中點(diǎn).

(1)求證:C1D∥平面AB1E;
(2)求證:BC1⊥B1E;
(3)若AB= ,求二面角E﹣AB1﹣B的正切值.

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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=a2x+ (a,b,c為常數(shù),且a>0,c>0).
(1)當(dāng)a=1,b=0時(shí),求證:|f(x)|≥2c;
(2)當(dāng)b=1時(shí),如果對(duì)任意的x>1都有f(x)>a恒成立,求證:a+2c>1.

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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為為參數(shù)),在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系取相同的長(zhǎng)度單位,且以原點(diǎn)為極點(diǎn),以軸正半軸為極軸)中,圓的方程為.

(1)求圓的直角坐標(biāo)方程;

(2)設(shè)圓與直線交于點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,求的最小值.

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【題目】對(duì)一批產(chǎn)品的長(zhǎng)度(單位:毫米)進(jìn)行抽樣檢測(cè),樣本容量為400,右圖為檢測(cè)結(jié)果的頻率分布直方圖,根據(jù)產(chǎn)品標(biāo)準(zhǔn),單件產(chǎn)品長(zhǎng)度在區(qū)間[25,30)的為一等品,在區(qū)間[20,25)和[30,35)的為二等品,其余均為三等品,則樣本中三等品的件數(shù)為

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【題目】【2017安徽淮南二!侩S著社會(huì)發(fā)展,淮北市在一天的上下班時(shí)段也出現(xiàn)了堵車嚴(yán)重的現(xiàn)象.交通指數(shù)是交通擁堵指數(shù)的簡(jiǎn)稱,是綜合反映道路網(wǎng)暢通或擁堵的概念.記交通指數(shù)為T,其范圍為[0,10],分別有5個(gè)級(jí)別:T∈[0,2)暢通;T∈[2,4)基本暢通;T∈[4,6)輕度擁堵;T∈[6,8)中度擁堵;T∈[8,10]嚴(yán)重?fù)矶拢绺叻鍟r(shí)段(T≥3 ),從淮北市交通指揮中心隨機(jī)選取了一至四馬路之間50個(gè)交通路段,依據(jù)交通指數(shù)數(shù)據(jù)繪制的直方圖如圖所示:

(I)據(jù)此直方圖估算交通指數(shù)T∈[4,8)時(shí)的中位數(shù)和平均數(shù);

(II)據(jù)此直方圖求出早高峰一至四馬路之間的3個(gè)路段至少有2個(gè)嚴(yán)重?fù)矶碌母怕适嵌嗌伲?/span>

(III)某人上班路上所用時(shí)間若暢通時(shí)為20分鐘,基本暢通為30分鐘,輕度擁堵為35分鐘,中度擁堵為45分鐘,嚴(yán)重?fù)矶聻?0分鐘,求此人用時(shí)間的數(shù)學(xué)期望.

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【題目】如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園,種植桃樹,已知角A為120°.現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,PQ處圍柵欄.

(1)若∠APQ=15°,AP與AQ兩處圍墻長(zhǎng)度和為100( +1)米,求柵欄PQ的長(zhǎng);
(2)已知AB,AC的長(zhǎng)度均大于200米,若水果園APQ面積為2500 平方米,問(wèn)AP,AQ長(zhǎng)各為多少時(shí),可使三角形APQ周長(zhǎng)最。

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【題目】已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,且拋物線上有一點(diǎn)P(4,m)到焦點(diǎn)的距離為6.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)若拋物線C與直線y=kx﹣2相交于不同的兩點(diǎn)A、B,且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2,求k的值.

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