(本小題滿分12分)
如圖,正三棱柱
的所有棱長都為
,
為
中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:
平面
;
(Ⅱ)求二面角
的大;
(Ⅲ)求點(diǎn)
到平面
的距離.
(Ⅰ)
平面
(Ⅱ)二面角
的大小為
(Ⅲ)點(diǎn)
到平面
的距離為
解法一:(Ⅰ)取
中點(diǎn)
,連結(jié)
.
為正三角形,
.
正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.
連結(jié)
,在正方形
中,
分別為
的中點(diǎn),
,
.
在正方形
中,
,
平面
.
(Ⅱ)設(shè)
與
交于點(diǎn)
,在平面
中,作
于
,連結(jié)
,由(Ⅰ)得
平面
.
,
為二面角
的平面角.
在
中,由等面積法可求得
,
又
,
.
所以二面角
的大小為
.
(Ⅲ)
中,
,
.
在正三棱柱中,
到平面
的距離為
.
設(shè)點(diǎn)
到平面
的距離為
.
由
得
,
.
點(diǎn)
到平面
的距離為
.
解法二:(Ⅰ)取
中點(diǎn)
,連結(jié)
.
為正三角形,
.
在正三棱柱
中,平面
平面
,
平面
.
取
中點(diǎn)
,以
為原點(diǎn),
,
,
的方向?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150417137361.gif" style="vertical-align:middle;" />軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則
,
,
,
,
,
,
,
.
,
,
,
.
平面
.
(Ⅱ)設(shè)平面
的法向量為
.
,
.
,
,
令
得
為平面
的一個(gè)法向量.
由(Ⅰ)知
平面
,
為平面
的法向量.
,
.
二面角
的大小為
.
(Ⅲ)由(Ⅱ),
為平面
法向量,
.
點(diǎn)
到平面
的距離
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)如圖,在底面為直角梯形的四棱錐
,
,
BC=6.
(Ⅰ)求證:
(Ⅱ)求二面角
的大小.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖, 在直三棱柱ABC-A
1B
1C
1中,AC=3,BC=4,
,AA
1=4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:AC⊥BC
1;
(Ⅱ)求二面角
的平面角的正切值.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分12分)
如圖,在四棱錐
中,
底面
,
,
,
是
的中點(diǎn).
(Ⅰ)證明
;
(Ⅱ)證明
平面
;
(Ⅲ)求二面角
的大。
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
若
為一條直線,
、
、
為三個(gè)互不重合的平面,給出下面三個(gè)語句:
①
②
//
③
//
其中正確的序號是_____
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:填空題
設(shè)地球的半徑為R,在北緯45°圈上有甲、乙兩地,它們分別在東經(jīng)50°與東經(jīng)140°圈上,則甲、乙兩地的球面距離是 .
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
已知直線
、
與平面
、
,給出下列三個(gè)命題( )
①若
∥
,
∥
,則
∥
;②若
∥
,
⊥
,則
⊥
;
③若
⊥
,
∥
,則
;其中真命題的個(gè)數(shù)是:
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
一內(nèi)側(cè)邊長為
的正方體容器被水充滿,首先把半徑為
的球放入其中,再放入一個(gè)能被水完全淹沒的小球,若想使溢出的水量最大,這個(gè)小球的半徑為( )
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題12分)
已知斜三棱柱
的底面是正三角形,側(cè)面
是邊長為2的菱形,
且
,
是
的中點(diǎn),
.
①求證:
平面
;
②求點(diǎn)
到平面
的距離.
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