Question

18．已知f（x）=2x²+x-k，g（x）=x³-3x，若對任意的x₁∈[-1，3]，總存在x₀∈[-1，3]，使得f（x₁）≤g（x₀）成立，則實數(shù)k的取值范圍是k≥3．

Answer 1

分析 對任意x₁∈[-1，3]，x₀∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₀）成立，即f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值小于或等于g（x）的最大值，利用導(dǎo)數(shù)求g（x）的最大值，再由二次函數(shù)的最值求f（x）的最大值即可．

解答 解：若對任意x₁∈[-1，3]，x₀∈[-1，3]，都有f（x₁）≤g（x₀）成立，
即f（x）在區(qū)間[-1，3]上的最大值都小于或等于g（x）的最大值，
∵g（x）=x³-3x，
∴g′（x）=3x²-3，
令3x²-3=0，解得x=±1，當(dāng)x∈（-1，1）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（1，3]時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=1時，函數(shù)g（x）取到極小值，
也是該區(qū)間的最小值g（1）=-2，
又g（-1）=2，g（3）=18．
∴g（x）在[-1，3]上的最大值為18．
而f（x）=2x²+x-k為開口向上的拋物線，對稱軸為x=-$\frac{1}{4}$，故當(dāng)x=3時取最大值f（3）=21-k，
由21-k≤18，解得k≥3．
∴實數(shù)k的取值范圍是k≥3．
故答案為：k≥3．

點評 本題為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的極值最值和恒成立問題，屬中檔題．