Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2

3

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），過P的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）求t=

OM

•

ON

的取值范圍（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2

3

，建立方程，即可求得雙曲線C的方程；
（2）假設(shè)直線方程，與雙曲線方程聯(lián)立，分類討論，利用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積，從而可確定t=

OM

•

ON

的取值范圍．

解答：解：（1）雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)為（c，0），一條漸近線方程為：bx-ay=0
∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為2

3

∴

c

a

=2，

|bc|

b2+a2

=2

3

∵c²=a²+b²
∴b²=12，a²=4
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1…（4分）
（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，-2），設(shè)過P的直線l的方程為y=kx-2，與雙曲線方程聯(lián)立可得

y=kx-2 3x2-y2=12

消去y可得（3-k²）x²+4kx-16=0…（5分）
（1）3-k²=0，不符合題意，舍去…（6分）
（2）3-k²≠0時，△=16（12-3k²）＞0得k²＜4
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則

x1+x2= -4k 3-k2

，

x1x2= -16 3-k2

…（8分）
∴y₁y₂=（kx₁-2）（kx₂-2）=k²x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4=

12-12k2

3-k2

∴t=

OM

•

ON

=x₁x₂+y₁y₂=

-16

3-k2

+

12-12k2

3-k2

=

-4-12k2

3-k2

=12-

40

3-k2

∵k²＜4，3-k²≠0
∴3-k²＞-1，3-k²≠0
∴

1

3-k2

＜-1或

1

3-k2

＞ 0
∴12-

40

3-k2

＞52或12-

40

3-k2

＜ -

4

3

∴t＞52或t＜-

4

3

…（12分）

點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積，解題的關(guān)鍵是直線與雙曲線方程的聯(lián)立，將數(shù)量積轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系．