Question

已知數列{a_n}的前n項和S_n，且滿足S_n=2a_n-2．（n∈N^*）
（1）求數列{a_n}的通項a_n．
（2）若數列{b_n}滿足b_n=log₂a_n，T_n為數列{

bn

an

}的前n項和，求證T_n≥

1

2

．

Answer 1

考點：數列的求和,數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）由于滿足S_n=2a_n-2．（n∈N^*），可得當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁；當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，化為a_n=2a_n-1，利用等比數列的定義與通項公式即可得出．
（2）b_n=log₂a_n=log22n=n．可得

bn

an

=

n

2n

．利用“錯位相減法”即可得出．

解答： （1）解：∵滿足S_n=2a_n-2．（n∈N^*），
∴當n=1時，a₁=2a₁-2，解得a₁=2；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2-（2a_n-1-2），化為a_n=2a_n-1，
∴數列{a_n}的通項a_n是等比數列，
∴an=2n．
（2）證明：b_n=log₂a_n=log22n=n．
∴

bn

an

=

n

2n

．
∴數列{

bn

an

}的前n項和T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，
∴

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴T_n=2-

2+n

2n

．
∵

2+n

2n

＞

3+n

2n+1

，
∴T_n≥T₁=

1

2

．

點評：本題考查了比數列的通項公式與前n項和公式、“錯位相減”、對數的運算性質、數列的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．