Question

已知f（x）=sin2x-

3

cos2x+n-1（n∈N^*）．
（1）在銳角△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對(duì)邊，當(dāng)n=1時(shí)，f（A）=

3

，且c=3，△ABC的面積為3

3

，求b的值．
（2）若f（x）的最大值為a_n（a_n為數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式），又?jǐn)?shù)列{b_n}滿足b_n=

1

anan+1

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法,解三角形

分析：（1）由已知可解得sin(2A-

π

3

)=

3

2

，又由△ABC是銳角三角形，可得A的值，從而由三角形的面積公式可求得b的值；
（2）由（Ⅰ）可解得a_n=n+1，可得bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，從而可求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （13分）解：（1）∵f（x）=sin2x-

3

cos2x+n-1=2sin(2x-

π

3

)+n-1，…（2分）
當(dāng)n=1時(shí)，由f(A)=

3

得：2sin(2A-

π

3

)=

3

，
∴sin(2A-

π

3

)=

3

2

，
又∵△ABC是銳角三角形，
∴-

π

3

＜2A-

π

3

＜

2π

3

∴2A-

π

3

=

π

3

即A=

π

3

，…（5分）
又由S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

2

b×

3

2

=3

3

∴可解得：b=4，…（7分）
（2）由（Ⅰ）知：f(x)=2sin(2x-

π

3

)+n-1，
∴f（x）取最大值為n+1，
∴a_n=n+1…（9分）
又bn=

1

anan+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

…（11分）
∴Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，數(shù)列的求和，其中裂項(xiàng)求和是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．