Question

已知定點A（3，1），在右焦點為F的雙曲線x²一

y2

3

=1上，求一點P，使得|PA|十

1

2

|PF|的值最小，并求出這個最小值．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據(jù)題意，算出雙曲線的離心率e=2，右準線為l：x=

1

2

．作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，根據(jù)圓錐曲線統(tǒng)一定義得到|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PN|．由平幾知識可得：當A、N、P三點共線時，|PA|+|PN|=|AN|達到最小值，由此即可求出點P的坐標和|PA|+

1

2

|PF|的最小值．

解答： 解∵雙曲線方程為線x²-

y2

3

=1，
∴a=1，b=

3

，c=2，
可得離心率e=

c

a

=2，

a2

c

=

1

2

，所以右準線為l：x=

1

2

，
作AN⊥l于N，交雙曲線右支于P，連結FP，則
由圓錐曲線統(tǒng)一定義得

|PF|

|PN|

=e，可得|PF|=e|PN|=2|PN|，
∴|PN|=

1

2

|PF|，因此，|PA|+

1

2

|PF|=|PA|+|PN|，
當且僅當A、N、P三點共線時，|PA|+|PN|=|AN|達到最小值
此時，在x²-

y2

3

=1中令y=1，得x=±

2 3

3

，
∵x＞0，∴取x=

2 3

3

即當P的坐標為（

2 3

3

，1）時，|PA|+

1

2

|PF|的最小值為|AN|=3-

1

2

=

5

2

．

點評：本題著重考查了雙曲線的標準方程與簡單幾何性質、圓錐曲線的統(tǒng)一定義等知識，屬于中檔題．