Question

【題目】設(shè)f（x）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，又f（﹣1）=0，則xf（x）＜0的解集是（ ）
A.（﹣1，1）
B.（1，+∞）
C.（﹣1，0）∪（1，+∞）
D.（﹣∞，﹣1）∪（0，1）

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（1）=f（﹣1）=0；
又∵f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
∴當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）＜0；
∴不等式xf（x）＜0在（0，+∞）上的解集是（1，+∞）；
又f（x）是偶函數(shù)，
∴f（x）在（﹣∞，0）上是增函數(shù)，
當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，當(dāng)x＜﹣1時(shí)，f（x）＜0；
不等式xf（x）＜0在（﹣∞，0）上的解集是（﹣1，0）；
綜上，xf（x）＜0的解集是（﹣1，0）∪（1，+∞）；
故選：C．
【考點(diǎn)精析】掌握函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解答本題的根本，需要知道在公共定義域內(nèi)，偶函數(shù)的加減乘除仍為偶函數(shù)；奇函數(shù)的加減仍為奇函數(shù)；奇數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除認(rèn)為奇函數(shù)；偶數(shù)個(gè)奇函數(shù)的乘除為偶函數(shù)；一奇一偶的乘積是奇函數(shù);復(fù)合函數(shù)的奇偶性：一個(gè)為偶就為偶，兩個(gè)為奇才為奇．