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已知函數f（x）=ax3+b，其圖象在點P處的切線為l：y=4x-4，點P的橫坐標為2（如圖）．求直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．
分析：先利用導數求出該點的斜率，然后求出切點的坐標，得出函數的解析式，最后根據定積分即可求出直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積．
解答：解：f′（x）=3ax2．∴f′（2）=12a，
切線的斜率 k=12a，∵切線方程為：y=4x-4，∴切點坐標為了（2，4）
∴12a=4，∴a=
1
3
，且f（2）=ax3+b=4，∴b=
4
3
，
即a=
1
3
 ， b=
4
3
，f(x)=
1
3
x3+
4
3
，
直線l：y=4x-4與x軸的交點的橫坐標為1，
所以直線l、直線x=0、直線y=0以及f（x）的圖象在第一象限所圍成區(qū)域的面積為：
S=
∫
1
0
(
1
3
x3+
4
3
)dx+
∫
2
1
[(
1
3
x3+
4
3
)-(4x-4)]dx
=(
1
12
x4+
4
3
x)
|
1
0
+(
1
12
x4+
16
3
x-2x2)
|
2
1

=
1
12
+
4
3
+
1
12
×24+
16
3
×2-2×22-（
1
12
+
16
3
-2）=2．
點評：本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，同時考查了定積分，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
a-x2
x
+lnx  (a∈R ， x∈[
1
2
 ， 2])
（1）當a∈[-2，
1
4
)時，求f（x）的最大值；
（2）設g（x）=[f（x）-lnx]•x2，k是g（x）圖象上不同兩點的連線的斜率，否存在實數a，使得k≤1恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2009•海淀區(qū)二模）已知函數f（x）=a-2x的圖象過原點，則不等式f(x)＞
34
的解集為
（-∞，-2）
（-∞，-2）
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a|x|的圖象經過點（1，3），解不等式f(
2x
)＞3．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a•2x+b•3x，其中常數a，b滿足a•b≠0
（1）若a•b＞0，判斷函數f（x）的單調性；
（2）若a=-3b，求f（x+1）＞f（x）時的x的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=a-2|x|+1（a≠0），定義函數F（x）=
f(x)   ，  x＞0
-f(x) ，    x＜0
 給出下列命題：①F（x）=|f（x）|； ②函數F（x）是奇函數；③當a＜0時，若mn＜0，m+n＞0，總有F（m）+F（n）＜0成立，其中所有正確命題的序號是
 
．

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