Question

2．定義在R上的奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，又f（-3）=0，則不等式xf（x）＜0的解集為（　　）

• A． （-3，0）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（3，+∞）
• D． （-3，3）

Answer 1

分析 由題意和奇函數(shù)的性質(zhì)判斷出：f（x）在（-∞，0）上的單調(diào)性、圖象所過(guò)的特殊點(diǎn)，畫(huà)出f（x）的示意圖，將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化后，根據(jù)圖象求出不等式的解集．

解答 解：∵f（x）在R上是奇函數(shù)，在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）在（-∞，0）上也是增函數(shù)，
由f（-3）=0得，-f（3）=0，即f（3）=0，
由f（-0）=-f（0）得，f（0）=0，
作出f（x）的示意圖，如圖所示：
∵xf（x）＜0等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{f（x）＜0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x＜0}\\{f（x）＞0}\end{array}\right.$，
∴由圖象得，0＜x＜3或-3＜x＜0，
∴xf（x）＜0的解集為：（-3，0）∪（0，3），
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的關(guān)系，以及奇函數(shù)的性質(zhì)，考查數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化思想，畫(huà)出函數(shù)的示意圖是解題關(guān)鍵．