當n∈N*時，Sn=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
，Tn=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
．
（Ⅰ）求S1，S2，T1，T2；
（Ⅱ）猜想Sn與Tn的關系，并用數(shù)學歸納法證明．
（Ⅰ）∵當n∈N*時，Sn=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
，Tn=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n
．
∴S1=1-
1
2
=
1
2
，S2=1-
1
2
+
1
3
-
1
4
=
7
12
，T1=
1
1+1
=
1
2
，T2=
1
2+1
+
1
2+2
=
7
12
（2分）
（Ⅱ）猜想：Sn=Tn（n∈N*），即：
1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2n-1
-
1
2n
=
1
n+1
+
1
n+2
+
1
n+3
+…+
1
2n

（n∈N*）（5分）
下面用數(shù)學歸納法證明：
①當n=1時，已證S1=T1（6分）
②假設n=k時，Sk=Tk（k≥1，k∈N*），
即：1-
1
2
+
1
3
-
1
4
+…+
1
2k-1
-
1
2k
=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
（8分）
則：Sk+1=Sk+
1
2k+1
-
1
2(k+1)
=Tk+
1
2k+1
-
1
2(k+1)
（10分）
=
1
k+1
+
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
+
1
2k+1
-
1
2(k+1)
（11分）
=
1
k+2
+
1
k+3
+…+
1
2k
+
1
2k+1
+（
1
k+1
-
1
2(k+1)
）
=
1
(k+1)+1
+
1
(k+1)+2
+…+
1
2k+1
+
1
2(k+1)
=Tk+1，
由①，②可知，對任意n∈N*，Sn=Tn都成立．（14分）
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a1=1
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a1+a2+a3=1-4+9=6=1+2+3
…
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1
2
，
1
Sn
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1
n+1
+
1
n+2
+…+
1
3n
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A．f（1）=
1
2
B．f（k+1）-f（k）=
1
3k+1
+
1
3k+2
+
1
3k+3
C．f（2）=
1
3
+
1
6
D．f（k+1）-f（k）=
1
3k+1
+
1
3k+2
-
2
3k+3

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