Question

2．如圖，已知平面α⊥β，α∩β=l，A，B是直線l上的兩點(diǎn)，C，D是平面β內(nèi)的兩點(diǎn)，且 DA⊥l，CB⊥l，DA=2，AB=4，CB=4，P是平面α上的一動(dòng)點(diǎn)，且直線 PD，PC與平面α所成角相等，則二面角 P-BC-D的余弦值的最小值是$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 ∠PBA為所求的二面角的平面角，由△DAP∽△CPB得出$\frac{PA}{PB}=\frac{DA}{BC}$=$\frac{1}{2}$，求出P在α內(nèi)的軌跡，根據(jù)軌跡的特點(diǎn)求出∠PBA的最大值對(duì)應(yīng)的余弦值．

解答 解：∵AD⊥l，α∩β=l，α⊥β，AD?β，
∴AD⊥α，同理：BC⊥α．
∴∠DPA為直線PD與平面α所成的角，
∠CPB為直線PC與平面α所成的角，
∴∠DPA=∠CPB，又∠DAP=∠CBP=90°
∴△DAP∽△CPB，
∴$\frac{PA}{PB}=\frac{DA}{BC}$=$\frac{1}{2}$．
在平面α內(nèi)，以AB為x軸，以AB的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則A（-2，0），B（2，0）．設(shè)P（x，y），（y＞0）
∴2$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$，整理得（x+$\frac{10}{3}$）²+y²=$\frac{64}{9}$，
∴P點(diǎn)在平面α內(nèi)的軌跡為以M（-$\frac{10}{3}$，0）為圓心，以$\frac{8}{3}$為半徑的上半圓．
∵平面PBC∩平面β=BC，PB⊥BC，AB⊥BC，
∴∠PBA為二面角P-BC-D的平面角．
∴當(dāng)PB與圓相切時(shí)，∠PBA最大，cos∠PBA取得最小值．
此時(shí)PM=$\frac{8}{3}$，MB=$\frac{16}{3}$，MP⊥PB，∴PB=$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．
cos∠PBA=$\frac{PB}{MB}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二面角的余弦值的最小值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．