Question

已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足條件：，點(diǎn)P的軌跡是曲線E，直線l：y=kx-1與曲線E交于A、B兩點(diǎn)．如果．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）若曲線E上存在點(diǎn)C，使，求m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由題意知，點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，的雙曲線的左支，從而寫(xiě)出曲線E的方程，再設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入雙曲線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得k值，從而解決問(wèn)題．
（Ⅱ）先設(shè)C（x，y），由已知條件中向量關(guān)系得到點(diǎn)C的坐標(biāo)用m來(lái)表示的式子，將點(diǎn)C（x，y）的坐標(biāo)代入雙曲線方程求得m的值即可．
解答：解：（Ⅰ）∵
∴點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)，的雙曲線的左支，
∴曲線E的方程為x²-y²=1（x＜-1）
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把y=kx-1代入x²-y²=1消去y得（1-k²）x²+2kx-2=0
∴
∴
兩邊平方整理得28k⁴-55k²+25=0，
∴（∵）
∴
故直線方程為．
（Ⅱ）設(shè)C（x，y），由已知，得（x₁+x₂，y₁+y₂）=（mx，my）
∴
∴
∴
將點(diǎn)C（x，y）的坐標(biāo)代入x²-y²=1得．
∴m=4或m=-4（舍去）．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題、雙曲線定義的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力． 當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí)，涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)（即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式）．