Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，側(cè)棱PD⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點．
（1）求證：MN∥平面PAD；
（2）求證：平面PCD⊥平面PBC．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）充分利用四棱錐的特殊性質(zhì)，只要MN平行與平面PAD內(nèi)的一條直線即可；
（2）只要證明平面PBC內(nèi)的BC垂直平面PCD即可．

解答： 證明：（1）取PD得中點F，連AF、FN，
∵N是PC的中點，∴FN∥DC，F(xiàn)N=

1

2

DC，
又∵四邊形ABCD是正方形，并且M是AB的中點，
∴AM∥DC，AM=

1

2

DC，
∴FN∥AM，并且FN=AM，
∴四邊形FNMA是平行四邊形，
∴MN∥FA，
又MN?平面PAD，F(xiàn)A?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；
（2）∵PD⊥平面ABCD，并且BC?平面ABCD，
∴PD⊥BC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BC⊥CD，又PD∩CD=D，PD?平面PCD，CD?平面PCD，
∴BC⊥平面PCD，
又∵BC?平面PBC，
∴平面PCD⊥平面PBC．

點評：本題考查了空間線面垂直的判定和面面垂直的判定，關(guān)鍵是通過轉(zhuǎn)化為線線的位置關(guān)系解答，屬于基礎(chǔ)題；