Question

18．已知二次函數(shù)y=f（x）的兩個零點(diǎn)為0，1，且其圖象的頂點(diǎn)恰好在函數(shù)y=log₂x的圖象上．函數(shù)f（x）在x∈[0，2]上的值域是[-1，8]．

Answer 1

分析 由函數(shù)零點(diǎn)的定義設(shè)出f（x）的解析式，結(jié)合條件求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式求出系數(shù)，即可求出f（x）的解析式，由配方法和二次函數(shù)的性質(zhì)求出值域．

解答 解：∵二次函數(shù)y=f（x）的兩個零點(diǎn)為0，1，
∴設(shè)f（x）=ax（x-1），則定點(diǎn)的橫坐標(biāo)x=$\frac{1}{2}$，
∵f（x）圖象的頂點(diǎn)恰好在函數(shù)y=log₂x的圖象上，
∴y=log₂$\frac{1}{2}$=-1，則頂點(diǎn)為$（\frac{1}{2}，-1）$，
代入f（x）得，$\frac{1}{2}$a（$\frac{1}{2}$-1）=-1，解得a=4，
則f（x）=4x（x-1）=4$（x-\frac{1}{4}）^{2}-1$，
∵x∈[0，2]，
∴當(dāng)x=$\frac{1}{4}$時，f（x）取到最小值是-1；當(dāng)x=2時，f（x）取到最大值是8，
∴-1≤f（x）≤8，即f（x）的值域是[-1，8]．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的定義，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，以及二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．