Question

3．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點為F，上頂點為A，短軸長為2，O為原點，直線AF與橢圓C的另一個交點為B，且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍．
（1）求橢圓C的方程；
（2）如圖，直線l：y=kx+m與橢圓C相交于P，Q兩點，若在橢圓C上存在點R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得b=1，A（0，1），設F（c，0），B（x₀，y₀），運用三角形的面積公式可得y₀=-$\frac{1}{3}$，再由直線AF的方程經過B，可得B的坐標，代入橢圓方程，解得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由OPRQ為平行四邊形，可得x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，R在橢圓C上，代入橢圓方程，再由直線l與橢圓方程聯立，運用韋達定理和判別式大于0，化簡整理，解不等式即可得到所求m的范圍．

解答 解：（1）短軸長為2，可得b=1，
即有A（0，1），設F（c，0），B（x₀，y₀），
△AOF的面積是△BOF的面積的3倍，
即為$\frac{1}{2}$c•1=3•$\frac{1}{2}$c•|y₀|，
可得y₀=-$\frac{1}{3}$，由直線AF：y=-$\frac{x}{c}$+1經過B，
可得x₀=$\frac{4}{3}$c，即B（$\frac{4}{3}$c，-$\frac{1}{3}$），代入橢圓方程可得，
$\frac{16{c}^{2}}{9{a}^{2}}$+$\frac{1}{9}$=1，即為a²=2c²，即有a²=2b²=2，
則橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由OPRQ為平行四邊形，可得x₁+x₂=x_R，y₁+y₂=y_R，
R在橢圓C上，可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{2}$+（y₁+y₂）²=1，
即為$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{2}$+（k（x₁+x₂）+2m）²=1，
化為（1+2k²）（（x₁+x₂）²+8km（x₁+x₂）+8m²=2，①
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
由△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-2）＞0，即為1+2k²＞m²，②
x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，代入①可得$\frac{16{k}^{2}{m}^{2}（1+2{k}^{2}）}{（1+2{k}^{2}）^{2}}$-$\frac{32{k}^{2}{m}^{2}}{1+2{k}^{2}}$+8m²=2，
化為1+2k²=4m²，代入②可得m≠0，
又4m²=1+2k²≥1，解得m≥$\frac{1}{2}$或m≤-$\frac{1}{2}$．
則m的取值范圍是（-∞，-$\frac{1}{2}$]∪[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用橢圓的性質和點滿足橢圓方程，考查直線方程和橢圓方程聯立，運用韋達定理和判別式大于0，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．