Question

已知函數f（x）=

2 |x-2| ， x≠2 1， x=2

，若關于x的方程：[f（x）]³+b[f（x）]²+c[f（x）]+d=0有且僅有3個不同的實根x₁，x₂，x₃，則x₁²+x₂²+x₃²的值是

 

．

Answer 1

考點：函數的零點與方程根的關系

專題：函數的性質及應用

分析：題中原方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，即要求對應于方程：f（x）=某個常數，有3個不同實數解，故先根據題意作出f（x）的簡圖，由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，即解分別是1，2，3．從而問題解決．

解答： 解：∵函數f（x）=

2 |x-2| ， x≠2 1， x=2

，
∴f（2）=1，f（x）=1，x=0，或x=4，即f（0）=f（4）=1，
作出f（x）的簡圖：

由圖可知，只有當f（x）=1時，它有三個根．
故關于x的方程f²（x）+af（x）+b=3有且只有3個不同實數解，
即解分別是0，2，4．
故x₁²+x₂²+x₃²=0+4+16=20，
故答案為：20，

點評：本小題主要考查函數的零點與方程根的關系、函數的圖象等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．