Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³+bx²+cx+d（x∈R）已知F（x）=f（x）-f′（x）是奇函數(shù)，且F（1）=-11
（1）求b、c、d的值；
（2）求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用F（x）是奇函數(shù)，且F（1）=-11．建立方程求b，c，d．
（2）利用導(dǎo)數(shù)求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值．

解答： 解：（1）f'（x）=3x²+2bx+c，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x³+（b-3）x²+（c-2b）x+d-c，
∵F（x）是奇函數(shù)，
∴b-3=0，且d-c=0，即b=3，d=c．
∴F（x）=x³+（c-2b）x．
∵F（1）=-11，
∴F（1）=1+c-2b=-11，
即c-2b=-12，∴c=2b-12=-6，
又d=c，可得d=16．
綜上知，b=3，c=-6，d=-6．
（2）由（1）知f（x）=x³+3x²-6x-6．
f'（x）=3x²+6x-6，
∴F（x）=f（x）-f′（x）=x³-12x，
∴F′（x）=3x²-12=3（x+2）（x-2），
∴當(dāng)x＜-2或x＞2時，F(xiàn)′（x）＞0，當(dāng)-2＜x＜2時，F(xiàn)′（x）＜0，
∴F（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-2）和（2，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-2，2）．
∴當(dāng)x=-2時，F(xiàn)（x）_極大值=F（-2）=（-2）³-12×（-2）=16，
當(dāng)x=2時，F(xiàn)（x）_極小值=F（2）=2³-12×2=-16．
∴函數(shù)單調(diào)遞增，無極值．
即函數(shù)F（x）的單調(diào)區(qū)間是R，無極值．

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計算，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查學(xué)生的運算能力．