Question

設f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b，（a，b∈R⁺）若f（x）≤f（）對一切x∈R恒成立，給出下列結論：
①f（-）=0； ②f（x）的圖象關于點（，0）對稱；
③f（x）的圖象關于直線對稱；
④f（x）的單調遞增區(qū)間是[kπ+，kπ+]（k∈Z）；
⑤f（x）與的單調區(qū)間相同．
其中正確結論的序號是________．（填上所有正確結論的序號）

Answer 1

①②⑤
分析：化簡f（x）的解析式，利用已知條件中的不等式恒成立，得f（ ） 是三角函數的最大值，得到x=是三角函數的對稱軸，由此可求出輔助角θ，再通過整體處理的思想研究函數的性質，對選項逐個判斷．
解答：f（x）=2asinxcosx+2bcos²x-b=asin2x+bcos2x
=sin（2x+θ），其中tanθ=，所以周期T=π，
又f（x）≤f（）對一切x∈R恒成立，
故x=處為最大值點，即x=為函數圖象的對稱軸，
故2×+θ=kπ+，解得θ=kπ+，k∈Z，
故f（x）=sin（2x+kπ+）=±sin（2x+），
又x=處為最大值點，故f（x）=sin（2x+），
故①f（-）=）=sin0=0，故正確；
②由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，當k=1時，x=，故圖象關于點（，0）對稱，故正確；
③由2x+=kπ，可得x=，k∈Z，令=，解得k=∉Z，故不是對稱軸，故錯誤；
④由2kπ-≤2x+≤2kπ+，解得kπ-≤x≤kπ+，故的函數的增區(qū)間為[kπ，kπ+]（k∈Z），故錯誤；
⑤函數f（x）=sin（2x+）=cos（-2x-）=
cos（）=cos（2x-），故函數f（x）與的單調區(qū)間相同，故正確．
故答案為：①②⑤
點評：本題考查三角函數的對稱軸過三角函數的最值點、考查研究三角函數的性質常用整體處理的思想方法，屬中檔題．