Question

已知tanα=

1

2

，sin（α+β）=-

2

10

，其中0＜α＜π，0＜β＜π．
（1）求cosβ的值；
（2）求α-β的值．

Answer 1

（1）∵tanα=

1

2

＞0，且0＜α＜π，
∴0＜α＜

π

2

，…（1分）
∴cosα=

1 1+tan2α

=

2 5

5

，
∴sinα=

1-cos2α

=

5

5

，…（2分）
又0＜β＜π，
∴0＜α+β＜

3π

2

，…（3分）
又sin（α+β）=-

2

10

＜0，
∴π＜α+β＜

3π

2

，又sin（α+β）=-

2

10

，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

7 2

10

，…（4分）
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

7 2

10

×

2 5

5

-

2

10

×

5

5

=-

3 10

10

；…（6分）
（2）∵cosβ=-

3 10

10

＜0，且0＜β＜π，
∴

π

2

＜β＜π，
∴sinβ=

1-cos2β

=

10

10

，（8分）
∴cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ
=

2 5

5

×（-

3 10

10

）+

5

5

×

10

10

=-

2

2

，…（10分）
又0＜α＜

π

2

，

π

2

＜β＜π，
∴-π＜α-β＜0，…（11分）
則α-β=-

3π

4

．…（12分）