Question

1．已知函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$，x∈R
（1）求函數(shù)y=f（3x）的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）已知銳角△ABC中的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，且a=7，sinB+sinC=$\frac{13}{7}$sinA，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）化簡函數(shù)f（x）為正弦型三角函數(shù)，寫出函數(shù)y=f（3x）的解析式，求它的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)題意，先求出角A的值，再利用正弦、余弦定理，即可求出△ABC的面積．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$cos²x-$\sqrt{3}$
=2sinxcosx+$\sqrt{3}$（2cos²x-1）
=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x
=2（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），x∈R；
∴函數(shù)y=f（3x）=2sin（6x+$\frac{π}{3}$），
∴y=f（3x）的最小正周期為T=$\frac{2π}{6}$=$\frac{π}{3}$；
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤6x+$\frac{π}{3}$≤2kx+$\frac{3π}{2}$，
解得$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{π}{36}$≤x≤$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{7π}{36}$，k∈Z；
∴y=f（3x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{π}{36}$，$\frac{1}{3}$kπ+$\frac{7π}{36}$]，k∈Z；
（2）銳角△ABC中，f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{3}$，
∴2sin（A-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=$\sqrt{3}$，
解得sinA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又0＜A＜$\frac{π}{2}$，∴A=$\frac{π}{3}$；
又a=7，sinB+sinC=$\frac{13}{7}$sinA，
∴b+c=$\frac{13}{7}$a=$\frac{13}{7}$×7=13；
由余弦定理得
a²=b²+c²-2bccosA=（b+c）²-2bc-2bccos$\frac{π}{3}$=（b+c）²-3bc，
即7²=13²-3bc，
解得bc=40；
∴△ABC的面積為
S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×40×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)的恒等變換與解三角形的靈活應(yīng)用問題，是綜合性題目．